本笔记基于一个典型的弹簧-质量-阻尼器系统，推导二阶系统的零输入响应（即仅由初始条件引起的响应），并根据**阻尼比()**的不同取值，分析系统的动态特性。
1. 系统建模与标准形式
1.1 物理模型：弹簧振动阻尼系统
一个常见的二阶系统是弹簧-质量-阻尼器系统。
- 质量 (m): 物体质量
- 弹簧系数 (k): 弹簧的刚度
- 阻尼系数 (B): 阻尼器提供的阻力
- 外力 (F): 施加在系统上的外部作用力
1.2 受力分析与微分方程
对质量块 m进行受力分析，根据牛顿第二定律 可得：
整理后得到系统的二阶线性常微分方程：
为了标准化方程，我们定义以下两个关键参数：
- 固有频率 (Natural Frequency, )：
- 阻尼比 (Damping Ratio, )：
将这些定义代入，方程可写为标准形式：
2. 零输入响应与特征方程
零输入响应研究的是在没有外部输入 () 的情况下，仅由初始条件 (, ) 引起的系统响应。 此时，系统的齐次微分方程为：
我们假设解的形式为 ，代入上式得到系统的特征方程 (Characteristic Equation)：
该方程的根 决定了系统的响应形态：
3. 不同阻尼比下的系统响应
根据阻尼比 的取值不同，系统的零输入响应分为以下几种情况：
3.1 过阻尼 (Overdamped, )
- 特征根：两个不相等的负实根 ()。
- 响应形式：
- 特点：响应不会发生振荡，而是平滑地衰减至零。其收敛速度由绝对值较小的根 决定。
3.2 临界阻尼 (Critically Damped, )
- 特征根：两个相等的负实根 ()。
- 响应形式：
- 特点：响应以最快的速度衰减至零且不发生振荡。
3.3 欠阻尼 (Underdamped, )
- 特征根：一对共轭复根 。
- 响应形式：可以表示为衰减的余弦和正弦函数之和。
通过辅助角公式，也可写为：
- 阻尼固有频率 ():
- 特点：响应以指数衰减的包络线在零附近进行振荡。
3.4 无阻尼 (Undamped, )
- 响应形式：
- 特点：响应为等幅的正弦振荡，系统能量守恒，没有衰减。
3.5 负阻尼 (Negative Damping, )
当 时，系统不稳定，响应会随时间发散。
- 反向欠阻尼 (): 响应是一个振幅按指数规律增大的振荡。
- 反向过阻尼 (): 响应不发生振荡，但会按指数规律单调发散。
