本笔记将整理一个典型的二阶线性时不变（LTI）系统在正弦输入下的频率响应特性，重点分析其幅频特性。
1. 频率响应的基本概念
- 输入与输出：当一个正弦信号 输入到一个LTI系统时，其稳态输出仍然是一个同频率的正弦信号，但幅值和相位会发生改变，形式为 。
- 频率响应的定义：
- 振幅响应 (幅频特性)：输出信号与输入信号的幅值之比，是频率 的函数。
相角响应 (相频特性)：输出信号与输入信号的相位之差，也是频率 的函数。
2. 标准二阶系统的频率响应函数
一个典型的二阶系统，其传递函数可以表示为：
其中， 是固有频率， 是阻尼比。
将 代入，得到频率响应函数：
为了简化分析，引入归一化频率 。上式可化为：
通过对分母进行有理化，可以分离出实部和虚部：
由此可得幅频和相频特性的表达式：
- 幅频特性：
- 相频特性：
3. 幅频特性分析
3.1 3.1 极限频率下的特性
- 直流或低频 (, ): 此时 。这表明系统对直流或极低频信号没有衰减作用。
- 高频 (, ): 此时 。这表明系统对高频信号有显著的衰减作用。这是一个低通滤波器
3.2 谐振频率与谐振峰值
为了求幅频响应的极值（峰值），需要找到分母中 的最小值。通过求导并令其为零：
可解得发生极值的频率点为 和 。
- 谐振频率 (): 幅频特性取得最大值的频率点，仅在 （即 ）时存在。
- 谐振峰值 (): 将谐振频率代入幅频公式，得到谐振时的峰值大小。
3.3 不同阻尼比()下的特性
阻尼比 对幅频特性有决定性影响。
- (无阻尼):
- 谐振发生在 。
- 谐振峰值 。
- :
- 谐振点存在。
- 谐振频率 。
- 谐振峰值 。
- 在 处，幅值为1。
- (临界阻尼):
- 不存在实数谐振频率点。
- 在 处，幅值为 。
