一、系统方程与根轨迹形式
1. 典型二阶系统
给出一个典型的二阶系统，其微分方程为：
其中， 为阻尼比， 为固有频率。
2. 建立根轨迹方程
为了采用根轨迹法进行分析，我们令 ，将阻尼比视为可变参数 K。此时系统方程变为：
对应的传递函数为：
系统的特征方程为：
为了得到根轨迹的标准形式 ，我们将上式变换为：
因此，开环传递函数为
3. 开环零极点
根据开环传递函数 ：
- 开环零点位于：
- 开环极点位于：
二、绘制与分析根轨迹
1. 根轨迹图
根据开环零极点分布，可以绘制出根轨迹。当参数 K 从 0 增大时，闭环极点从开环极点 出发，沿着一个圆周最终汇合到实轴上，然后一个分支趋向于开环零点 ，另一个分支趋向于无穷远。
2. 求解汇合点
根轨迹在实轴上的汇合点可以通过求解 来确定。
首先，由特征方程得到 K 的表达式：
当根在实轴上时，s 用 代替：
对 求导并令其为零：
解得：
由于根轨迹在零点 的左侧，故汇合点（Break-in Point）为 。
将 代入 K 的表达式，可得此时的增益 K = 1。
三、根据根轨迹分析系统动态性能
通过分析参数 K 的变化对闭环极点位置的影响，可以得出系统的动态性能。
- ① (无阻尼)
- 闭环极点：两个极点位于虚轴上的 处。
- 系统响应：系统无阻尼，为等幅振荡。
- ② (欠阻尼)
- 闭环极点：两个极点为位于左半平面的共轭复根，落在以原点为圆心、 为半径的圆周上。
- 系统响应：系统处于欠阻尼状态，响应为振荡衰减。
- ③ (临界阻尼)
- 闭环极点：两个极点在实轴上的 处汇合，为两个相等的实根。
- 系统响应：系统处于临界阻尼状态。
- ④ (过阻尼)
- 闭环极点：两个极点均为实根，位于实轴上。一个极点 ，另一个极点 。
- 系统响应：系统处于过阻尼状态，响应无振荡。
