1. 从稳态误差入手
1.1 稳态误差的计算
对于一个典型的负反馈系统，其误差信号 与输入信号 的关系为：
其中 是比例增益， 是被控对象的传递函数。
根据终值定理，当系统稳定时，其稳态误差 为：
如果输入是单位阶跃信号 ()，且令 ，则稳态误差为：
1.2 比例控制的局限性
以系统 为例， ，
稳态误差为：
如果取，则稳态误差
2. 滞后补偿器的引入
为了在不显著影响系统动态性能的前提下改善稳态性能，我们引入滞后补偿器。
2.1 补偿器结构与特性
滞后补偿器的传递函数为：
即零点比极点更远离虚轴。
- 频率特性：从其波特图可以看出，该补偿器会引入负的相角，即输出信号的相位会滞后于输入信号，因此被称为"滞后补偿器"。
- 稳态误差改善：加入滞后补偿器后，系统的稳态误差变为：
2.2 滞后补偿与PI控制
当滞后补偿器的极点 p=0 时，补偿器为 ，这在形式上等效于一个 PI（比例-积分）控制器。
PI控制下，稳态误差 将变为 0。
3. 滞后补偿器的设计与影响
3.1 设计示例
继续使用 的例子，设 。加入滞后补偿器后，稳态误差为：
如果我们希望将稳态误差减小到 ，则需要满足：
即零点的值需要是极点值的9倍。
3.2 零极点位置对系统动态性能的影响
虽然满足 的零、极点组合都能达到相同的稳态误差指标，但它们的位置会影响系统的动态性能（瞬态响应）
零、极点对根轨迹的影响：
- 在根轨迹上的任意一点 A，加入补偿器后，其新的相角为 ，其中 和 分别是零点和极点到点 A 的相角。
- 为了不显著改变原始系统的根轨迹（即保持原有的动态性能），我们希望 的值尽可能小。
- 要实现这一点，需要将补偿器的零点z和极点p都设计得非常靠近虚轴
仿真结果分析：
- Case 1: z=9, p=1
(零、极点离原点较远)：补偿器对原系统的根轨迹改变较大，导致系统的瞬态响应变差，出现了较大的超调和振荡。
- Case 2: z=0.9, p=0.1
(零、极点靠近原点)：补偿器对根轨迹的影响很小，系统基本保持了原有的瞬态响应特性，同时稳态误差得到了有效改善。
显然，更靠近虚轴，系统的响应与引入补偿之前更为相近。
4. 总结
- 目的：滞后补偿主要用于改善系统的稳态性能，即减小或消除稳态误差。
- 原理：通过引入一个靠近原点的极点和零点（极点比零点更靠近原点），在低频段提供大的增益，从而提高系统的开环增益，减小稳态误差。
- 设计关键：为了避免对系统原有的动态性能产生大的影响，应将滞后补偿器的零点和极点设计得足够靠近坐标原点。
- 与超前补偿对比：
- 超前补偿：关注瞬态响应，通过提供正相角来增加相位裕度，加快系统响应速度。
- 滞后补偿：关注稳态响应，通过在低频提供高增益来减小稳态误差。
