引理：柯西幅角原理
左边部分：
- 表示沿着闭合曲线 C 的复积分。
- 是 的对数导数。
- 这个积分的结果实际上计算了曲线经过 映射的像 围绕原点的卷绕数 (Winding Number)。卷绕数就是逆时针旋转的总圈数（逆时针为正，顺时针为负）。
右边部分：
- 是函数在曲线 C 内部的零点 (Zeros) 的数量，计入重数（例如，如果 是函数的一个因子，那么 a 就是一个三阶零点，算作3个零点）。
- 是函数 在曲线 C 内部的极点 (Poles) 的数量，同样计入阶数（例如，如果函数有因子，那么 b 就是一个二阶极点，算作2个极点）。
所以，这个公式优美地将零点和极点的数量和圈绕数（Winding Number）直接联系了起来。
预备知识
1. 经典负反馈控制系统
奈奎斯特稳定判据是分析反馈控制系统 (Feedback System) 稳定性的重要工具。我们首先考察一个经典的负反馈控制系统结构。
该系统主要由以下几个部分组成：
- 控制器 (Controller): 其传递函数通常表示为 。
- 被控对象 (Plant): 系统的主要部分。
- 传感器 (Sensor): 用于测量输出并反馈，其传递函数表示为 。
- 输入/输出:
- 目标 (Reference): ，系统的期望输入。
- 输出 (Output): ，系统的实际输出。
2. 关键传递函数的定义与推导
为了进行稳定性分析，我们需要明确开环和闭环传递函数的概念。
开环传递函数
开环传递函数 是指在反馈回路断开时，从反馈点到输出点再回到断开点的总传递函数。它是控制器、被控对象和传感器传递函数的乘积。
闭环传递函数
闭环传递函数 描述了从系统输入 到输出 的完整关系。其推导过程如下：
根据系统框图，误差信号为 ，则系统输出为：
对上式进行整理：
最终得到闭环传递函数：
3. 开环与闭环系统的内在关联
奈奎斯特判据的核心思想是通过分析易于测量和设计的开环系统特性，来判断闭环系统的稳定性。这种关联建立在它们的传递函数极点和零点关系之上。
特征方程
我们称闭环传递函数的分母 为系统的特征方程。闭环系统的稳定性完全由特征方程的根（即闭环极点）决定。如果所有闭环极点都位于S平面的左半部分，则系统是稳定的。
极点与零点的关系
为了深入理解其关联，我们将传递函数表示为分子与分母多项式的比值：
令控制器传递函数 ，传感器传递函数 。
- 开环传递函数为：
其极点由分母 的根决定。
- 特征方程可以写作：
- 闭环传递函数则为：
其极点由分母 的根决定。
通过对比以上三式，我们可以得出两个至关重要的结论：
- 结论一: 特征方程 的极点 与 开环传递函数 的极点 完全相同。它们都是由 的根给出的。
- 结论二: 特征方程 的零点 与 闭环传递函数 的极点 完全相同。它们都是由 的根给出的。
奈奎斯特稳定性判据 (Nyquist Stability Criterion)
开环与闭环的极、零点关系
首先，我们再次明确以下两个关键点：
- 开环传递函数 的极点与特征方程 的极点完全相同。
- 特征方程 的零点与闭环传递函数 的极点完全相同。
闭环系统的稳定性由其极点位置决定。因此，判断闭环系统的稳定性就等价于判断特征方程 在 S 右半平面的零点个数。
柯西辐角原理的应用
柯西辐角原理指出，对于一个S平面的闭合围线（即奈奎斯特围线 Nyquist Contour），其通过函数 映射后的轨迹对原点的卷绕数，与 在该围线内的零点数和极点数有关。
我们选择的奈奎斯特围线是一个包围整个S右半平面的闭合曲线。
我们考察的函数是特征方程 。
辐角原理的数学表达式为：
各符号的物理意义如下：
- P: 函数 在奈奎斯特围线内的极点个数。根据前面的结论，这等价于开环传递函数 在S右半平面的极点个数。
- Z: 函数 在奈奎斯特围线内的零点个数。这等价于闭环传递函数在S右半平面的极点个数。这是我们希望求解的未知量，它决定了闭环系统的稳定性。
- N: S平面的奈奎斯特围线经由 函数映射后，所形成的B Contour对坐标原点的卷绕数 (Winding Number)。
- 的映射图，就是将 的奈奎斯特图向右平移一个单位。
- 因此，判断 映射图对 点的卷绕数 ，等价于判断 的奈奎斯特图对 临界点 的卷绕数 。
在实际应用中，我们不直接绘制 的映射图，而是绘制更直观的开环传递函数 的奈奎斯特图 (Nyquist Plot)。
奈奎斯特稳定性判据
- 闭环系统稳定的充要条件是，闭环极点在S右半平面个数为零，即 。
- 将 代入辐角原理公式 ，得到最终的稳定性判据：
结论: 一个闭环系统是稳定的，当且仅当开环传递函数在S右半平面的极点个数 ，等于其奈奎斯特图对临界点 的卷绕数 。
