与将P、I、D三项独立作用后相加的并联型PID不同，标准型PID将比例增益 作为公因子提取出来，其参数具有更清晰的物理意义。
1. 标准型PID的数学定义
时域表达式
标准型PID控制器的输出 与误差 的关系可以从并联型变换得到：
- 并联型表达式:
- 提取公因数 ：
参数定义
为简化表达式并赋予其物理意义，我们定义：
- 积分时间 (Integral Time):
- 微分时间 (Derivative Time):
代入后，得到标准型PID的时域表达式:
2. 2. 积分与微分时间的物理意义
积分时间
积分时间的物理意义 可以通过一个PI控制器和一个阶跃误差来理解。
- 场景: 考虑一个PI控制器，在 时刻产生一个恒定的阶跃误差 。
- 输出响应: 控制器的输出为
- 意义: 比例项产生的输出为 。积分项是一个随时间增长的斜坡。当时间经过 时，积分项的输出增量为
- 正好等于初始的比例项输出。
结论:
积分时间 是指在阶跃误差作用下，积分项的输出追上（等于）比例项输出所需要的时间。
微分时间
微分时间的物理意义 可以通过一个PD控制器和一个斜坡误差来理解。
- 场景: 考虑一个PD控制器，误差信号是一个斜率为 的斜坡函数，。此时，误差的变化率 是一个常数。
- 输出响应: 控制器的输出为
- 意义: 微分项产生的输出为一个恒定值 。比例项的输出 随时间增长。当时间经过 时，比例项的输出等于 ，正好等于微分项的输出。
结论:
微分时间 是指在斜坡误差作用下，比例项的输出追上（等于）微分项输出所需要的时间。
3. 传递函数及优势
传递函数
对标准型PID的时域表达式进行拉普拉斯变换，可以得到其传递函数 ：
因此，传递函数为：
标准型PID的优势
标准型PID控制器的主要优势在于参数整定。
- 参数解耦: 一旦根据系统的响应特性确定了积分时间 和微分时间 ，控制器只剩下一个增益 需要调整。
- 便于分析: 这种单一增益的结构非常有利于进行根轨迹分析或根据稳定裕度进行设计。
4. 实际应用的标准型PID
以Matlab中的标准PID传递函数为例：
注意到，微分项和前面所讲的不一样，这是因为现实场景中会包含很多的高频噪声，需要叠加一个低通滤波器使用。
其中，是滤波器系数。显然的，越小，低通滤波效果越显著。
