在实际控制系统中，除了参考输入外，系统输出还会受到扰动(Disturbance) 和测量噪声 (Noise) 的影响。基于频率响应的设计方法旨在通过设计控制器 ，使得系统能够有效跟踪参考信号，同时抑制扰动和噪声。
1. 包含扰动与噪声的系统模型
考虑一个包含控制器 和被控对象 的反馈系统，其中扰动 作用在对象输入端，测量噪声 作用在反馈通路中。
根据该系统框图，我们可以推导出系统输出 的表达式：
整理后可得：
将各项分离，得到输出与三个输入（参考、噪声、扰动）之间的关系：
2. 灵敏度与补偿灵敏度函数
为了简化分析，我们定义两个关键的传递函数。
- 补偿灵敏度函数 (Complementary Sensitivity Function) 该函数描述了参考输入 和噪声 对输出 的影响。
- 灵敏度函数 (Sensitivity Function) 该函数描述了扰动 对输出 的影响。
利用这两个函数，系统输出可以简洁地表示为：
3. 滤波器的设计目标
我们的设计目标是让系统输出 尽可能地跟踪 ，同时忽略 和 。这在频域上对 和 的幅值提出了要求。
信号类型 | 典型频率 | 设计目标 | 传递函数要求 |
参考输入 | 低频 | 精确跟踪 | |
测量噪声 | 高频 | 完全抑制 | |
扰动 | 低频 | 完全抑制 |
根据上表的目标：
- 为了跟踪低频参考信号并抑制高频噪声， 应被设计成一个低通滤波器。
- 为了抑制低频扰动， 应被设计成一个高通滤波器。
4. 设计策略与实现
T(s) 与 S(s) 的互补关系
注意到 和 之间存在一个重要的关系：
这意味着 和 是互补的。如果我们成功地将 设计为一个好的低通滤波器，那么 自然就会成为一个高通滤波器。这极大地简化了设计任务，我们只需要专注于设计 即可。
通过开环增益实现设计
在实际中，我们唯一能设计的环节是控制器 。设计的关键在于调整开环传递函数 的频率响应。
的幅值响应为：
- 在低频区: 我们希望 。为了实现这一点，需要让开环增益 。
- 在高频区: 我们希望 。为了实现这一点，需要让开环增益 。
最终设计准则：为了实现所需的目标，控制器 的设计应该使得开环传递函数 在低频区具有高增益，在高频区具有低增益。
实战
系统的框图如图所示。
不施加控制项
此时， ， ，
且从下方 的波特图可以看出，对于输入 ，只含有直流成分，
运行仿真，结果如图所示。可以看到，静态误差为0.5（符合预期）；并且扰动、噪音抑制效果不佳
引入PI控制器，消除静态误差
首先，设置 ，仿真结果如图：
消除了静态误差，但是对于噪音和扰动的抑制并不令人满意
整定PI参数
- 在高频区: 我们希望 。为了实现这一点，需要让开环增益 。
显然，将 设置的小一些，可以让 在高频区更小一些，能够更有效抑制高频噪音。
在 的前提下：
这里出现了一些矛盾，也就是我们无法做到同时彻底抑制掉噪音与扰动。
可以看到，系统的表现和我们的分析完全吻合。通过调节PI参数，我们有效的抑制了系统的扰动和噪音。此外，扰动和噪音被抑制的程度也和我们的理论公式完全相符。
